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  • 2025年11月24日

分かりやすく論理学を理解する

分かりやすく論理学を理解する

――せめて命題論理だけは…――

0. つかみ：「論理的に考えろ」と言われたこと、ありませんか？

ネットでも職場でも、みんなわりと気軽にこう言います。

「それ、論理的じゃないよね」
「私は論理的に考えてるつもりですけど？」
「ファクトとロジックで話そう」

…ところが、**「じゃあその“論理”って、厳密には何？」**と聞かれると、説明しにくい。

  • フェイクニュースとファクト
  • 正義論とその“脱構築”
  • マウント合戦の「俺のほうが論理的」アピール

こういう場面で、大学教養レベルの命題論理だけでも知っていると、冷静に状況を整理したり、変な議論に巻き込まれたとき身を守れたりします。
（もちろん、悪用すれば“論理の殴り合い”で人を追い詰めることもできてしまうので、その意味でも「どういう武器なのか」は知っておいたほうがいい。）

この記事はあくまでやさしく・親しみやすくをゴールにして、

  • 命題論理って何をやる学問なのか
  • よく出てくるルール（MP, MT, A, CP, ∧・∨のルール、背理法）がどういう「技」なのか

を、なるべく“日常のエピソード”と一緒に見ていくものです。

1. 論理学ってそもそも何をする学問？

一番ざっくり言えば、

真なる前提から真なる結論を、ルールどおりに引き出すにはどうしたらいいか？

を研究する学問です。

  • 前提：いくつかの命題（文）
  • 結論：別の命題
  • それらを結ぶのが推論のルール

ここでポイントなのは：

  • 前提が本当に真かどうかは論理学の仕事ではない
    • 科学なら実験が決める
    • 史学なら史料批判が決める
    • 政治なら価値観と事実認識の問題
  • 論理学の仕事は： 「もし前提が真だとしたら、そのルールに従って導いた結論は必ず真になる（はずだ）」
    という**“形”の正しさ（妥当性）**を見ること

つまり、

  • 「前提が全部真で、
  • 推論もルールに従っていて、
  • 結論も真だった」

こういう論証を**健全（sound）**と言う。

ここまでが論理学の“守備範囲”のコアです。

2. 命題論理の登場人物

命題論理で扱うのは、ひとまず**「真」か「偽」かだけわかればいい文**です。

例：

  • 「私は人間である」 → 命題
  • 「今日は雨が降っている」 → 命題
  • 「亀が頭に落ちてくる」 → シチュエーションは謎だが、やはり命題

これらを記号で A, P, Q, R… と書きます。

そして、命題どうしをつなぐ**記号（論理記号）**をいくつか導入します：

  • 否定　　：¬P　…「Pではない」
  • かつ　　：P ∧ Q　…「P かつ Q」
  • または　：P ∨ Q　…「P または Q」
  • 条件文　：P → Q　…「もし P ならば Q」

この４つが分かれば、命題論理の８割くらいはもう理解したも同然です。

3. 代表ルール1：肯定肯定式（Modus Ponens, MP）

3-1. 形だけ書くとこう

MP（肯定肯定式）P,  P→Q  ⊢  QP,\; P \to Q \;\vdash\; QP,P→Q⊢Q

  • 前提1：P
  • 前提2：もしPならQ（P→Q）
  • 結論：Q

3-2. 変な例であえてやってみる

  • P：「亀が頭に落ちてくる」
  • Q：「私は人間である」

とすると、

  1. 「亀が頭に落ちてくる」
  2. 「亀が頭に落ちてくるなら、私は人間である」
    だから
  3. 「私は人間である」

…と、証明としては妙にシュールですが、論理的には完全に正しい。

「いやそんなの“論理的”じゃない！」
というツッコミは、
“現実的”ではないという文句であって、
論理学的には文句を言えない、というところがミソです。

MPは、「もし〜ならば〜」が本当で、しかも前件が本当なら、後件も認めざるをえない、という**ごく基本の“技”**です。

4. 代表ルール2：否定肯定式（Modus Tollens, MT）

MT（否定肯定式）¬Q,  P→Q  ⊢  ¬P\lnot Q,\; P \to Q \;\vdash\; \lnot P¬Q,P→Q⊢¬P

  • 前提1：Qではない（¬Q）
  • 前提2：もしPならQ（P→Q）
  • 結論：Pではない（¬P）

具体例：

  • P：「亀が頭に落ちてくる」
  • Q：「私は人間である」

とすると、

  1. 「私は人間ではない」（¬Q）
  2. 「亀が頭に落ちてくるなら私は人間である」（P→Q）
    だから
  3. 「亀は頭に落ちてこない」（¬P）

これは対偶の形と同じで、「もしPならQ」「Qでない」なら「Pではない」という、これも非常に基本的な“技”です。

5. 仮定の規則（A）と条件的証明（CP）

――「もしもボックス」で“ならば”を作る

5-1. 仮定の規則（Rule of Assumptions, A）

どんな命題でも、いったん“仮の前提”として使ってよいというルールです。

「とりあえず P だと“仮に”してみたらどうなるか？」

というお試しを始めるスイッチだと思ってください。
ドラえもんの「もしもボックス」みたいなものです。

5-2. 条件的証明（Conditional Proof, CP）

Aで開いた「もしもボックス」をきれいに閉じて、

「Pと仮定したらQが出てきたから、
　“もしPならQ”と言ってよい」

とまとめるルールです。

5-3. 風が吹けば桶屋が儲かる（P→Q, Q→R ⊢ P→R）

日常例でいちばん分かりやすいのは、連鎖の証明です。

  • P：風が吹く
  • Q：土ぼこりが舞う
  • R：桶屋が儲かる

前提：

  1. もし風が吹けば、土ぼこりが舞う。 (P→Q)
  2. もし土ぼこりが舞えば、桶屋が儲かる。 (Q→R)

結論として示したい：

もし風が吹けば、桶屋が儲かる。 (P→R)

証明（ざっくり）

  1. P→Q　（前提）
  2. Q→R　（前提）
  3. P と仮定する（A）
  4. P→Q と P から Q が出る（MP）
  5. Q→R と Q から R が出る（MP）
  6. 「P を仮定したら R が出た」ので、
    P→R と結論してよい（CP）

ここでの流れを一言で言えば、

Aで「もしもPの世界」を開き、
その世界の中でQ→RとつなげてRまでたどり着き、
CPで「じゃあP→Rだね」と世界を閉じる。

AとCPは、“ならば”を新しく作るための二人三脚です。

5-4. もうひとつの例：(P∧Q)→(Q∧P)

  • 「PとQが両方成り立つなら、順番を入れ替えたQとPも成り立つ」

感覚的には当たり前ですが、これもAとCPで書けます。

  1. P∧Q を仮定（A）
  2. そこからPとQを取り出す（∧除去）
  3. QとPをまとめてQ∧Pを作る（∧導入）
  4. 「P∧Qを仮定したらQ∧Pが出た」ので (P∧Q)→(Q∧P)（CP）

6. 「かつ」と「または」のルール

6-1. 連言「かつ」（∧）

  • P∧Q …「P かつ Q」

∧導入（∧I） P,  Q  ⊢  P∧QP,\; Q \;\vdash\; P \land QP,Q⊢P∧Q

「P も Q も真なら、P∧Q も真」

∧除去（∧E） P∧Q  ⊢  PやP∧Q  ⊢  QP \land Q \;\vdash\; P \quad\text{や}\quad P \land Q \;\vdash\; QP∧Q⊢PやP∧Q⊢Q

「P∧Q が真なら、その中身のそれぞれも真」

これはほとんど直感そのままです。

6-2. 選言「または」（∨）

  • P∨Q …「P または Q」

∨導入（∨I） P  ⊢  P∨QP \;\vdash\; P \lor QP⊢P∨Q

P が真なら、「PまたはQ」も真（Qがどうであれ）

例：

「私はコーヒーを飲んでいる」
から
「私はコーヒーか紅茶のどちらかを飲んでいる」

という“盛った言い方”が常に真になる、というイメージ。

6-3. 選言除去（∨E）＝場合分けの技

これだけ少し形がややこしいですが、**やっていることは「場合分け」**です。

前提：

  • P∨Q
  • P から R が導ける
  • Q からも R が導ける
    結論：
  • R

といった形： P∨Q,  [P]⋮R,  [Q]⋮R  ⊢  RP \lor Q,\; [P] \vdots R,\; [Q] \vdots R \;\vdash\; RP∨Q,[P]⋮R,[Q]⋮R⊢R

例：雨でも雪でも道路は濡れる

  • P：雨が降っている
  • Q：雪が降っている
  • R：道路が濡れている
  1. P∨Q … 「今日は雨か雪が降っている」
  2. P→R … 「雨なら道路は濡れる」
  3. Q→R … 「雪なら道路は濡れる」

すると、

  • 雨の場合（P）でもR
  • 雪の場合（Q）でもR

だから、

「結局どっちにしても道路は濡れている（R）」

と言ってよい。
これが**選言除去（∨E）**です。

イメージとしては、

Y字路のどっちの道に行っても、最後は同じ地点に合流する

という構造です。

7. 背理法（RAA）：あえて相手に乗っかってみる技

背理法（reductio ad absurdum, RAA）は、

「証明したい命題Pの否定（¬P）をわざと仮定し、
　そこから矛盾が出たら、その仮定を捨ててPを採用する」

という二段構えの技です。

7-1. ミステリードラマ型の例

  • P：「彼は犯人である」
  • Q：「犯行時刻に現場にいた」

前提：

  1. もし彼が犯人なら、犯行時刻に現場にいたはずだ。 (P→Q)
  2. しかし彼はその時間、現場にはいなかった。 (¬Q)

示したい結論：

彼は犯人ではない（¬P）

背理法でやるなら：

  1. P→Q（前提）
  2. ¬Q（前提）
  3. あえて P を仮定（「彼は犯人だとしてみよう」）
  4. すると Q が出てくる（MP）
  5. Q と ¬Q から矛盾 ⊥
  6. 「P を仮定すると矛盾が出る」ので、
    P は間違い → ¬P が正しい（RAA）

要するに、

「百歩譲って、あなたの言う通りだと“仮に”してみましょう。
　…ほら、おかしなことになるでしょ？」

という知的なツッコミ技です。

7-2. いちばん素朴な例：¬¬P ⊢ P

前提：¬¬P（Pでない、ということは成り立たない）
結論：P

背理法の型どおりにやると：

  1. ¬¬P（前提）
  2. ¬P を仮定（A）
  3. ¬¬Pと¬Pは両立しない → 矛盾 ⊥（否定除去）
  4. よって仮定 ¬P を捨てて P（RAA）

「二重否定から元に戻る」というルールを、背理法で証明している形です。

8. ここまでで実は命題論理の主要な“技”は出揃っている

少し息をついて眺め直すと、出てきたのは：

  • 基本の論理記号
    • 否定 ¬
    • かつ ∧
    • または ∨
    • ならば →
  • 代表的な推論ルール
    • MP（肯定肯定式）
    • MT（否定肯定式）
    • ∧導入・∧除去
    • ∨導入・∨除去（場合分け）
    • 仮定の規則（A）
    • 条件的証明（CP）
    • 背理法（RAA）

**これくらいで一度止めておけば十分“教養としての論理学”**になります。

もちろん、本気の論理学では、

  • 述語論理（「すべての〜」「ある〜」）
  • 完全性定理や無矛盾性
  • 直観主義論理や多値論理
  • 計算機科学や圏論との接点

など、いくらでも先がありますが、それは興味が出てからで大丈夫です。

9. なぜ命題論理だけでも知っておくと得なのか？

少なくとも、こんな場面で役に立ちます。

  1. 変な論法に引っかかりにくくなる
    • 「結論が気に入らないから前提を叩く」
    • 「前提と関係ないことを次々持ち出す」
      こういうものを**“論理的に”怪しい**と自分で判定できる。
  2. フェイクとファクトの切り分けの一部を“機械的”にできる
    • 事実認定そのものは別問題としても、
    • 「この人の話は、もし前提が真なら、ちゃんと結論も付いてくるか？」
      をチェックする目が養われます。
  3. 自分が書く文章・話す内容が、変なところで自爆しにくくなる
    • 自分で自分の論を“査読”するイメージです。
    • 論文査読ほど厳密でなくても、
      「前提→推論→結論」の流れをざっくり検査できるのは大きな強み。
  4. 詐欺や“レトリックだけ”の論争に対する防御壁になる
    • きれいなレトリックに乗せられても、
      「ところでそのステップ、本当にMPになってる？」
      と一歩引いた視点で見られるようになります。

10. おわりに：論理は“全部”ではないけれど、知らないと損

もちろん、人間は論理だけでできているわけではありません。

  • 感情
  • 信頼
  • 空気
  • 文化・歴史・物語

こうしたものが、むしろ人間社会を支えている部分も大きいでしょう。
それでもなお、

「最低限、命題論理のレベルで自分の頭をチェックできる」

というのは、現代を生きるうえで悪くない知的たしなみだと思います。

  • 大学の教養課程として
  • 哲学や現代思想、大乗仏教を読むための基礎として
  • ネット時代の“フェイクとマウントの海”を泳ぐためのイージスとして

「せめて命題論理だけでも…」というタイトルには、そんな願いを込めました。

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